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半平面交的O(nlogn)算法[zhuan]

roselone posted @ 2009年8月23日 05:21 in ACM/ICPC , 2239 阅读

求n个半平面的交有三种做法:

第一种就是用每个平面去切割已有的凸多边形,复杂度O(n^2)。

第二种就是传说中的分治算法。将n个半平面分成两个部分,分别求完交之后再将两个相交的区域求交集。由于交出来的都是凸多边形,利用凸多边形的交可以在O(n)时间内完成的性质,将复杂度降为O(nlogn)。

第三种就是ZZY大牛的那篇论文提到的他自创的排序增量算法。但是他的那种做法还是有些复杂,在网上找到evalls写的一个很优美的版本:(原文地址:http://evalls.yo2.cn/articles/%E5%8D%8A%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E4%BA%A4onlogn%E7%9A%84%E7%AE%97%E6%B3%95.html

step1. 将所有半平面按极角排序,对于极角相同的,选择性的保留一个。 O(nlogn)
step2. 使用一个双端队列(deque),加入最开始2个半平面。
step3. 每次考虑一个新的半平面:
a.while deque顶端的两个半平面的交点在当前半平面外:删除deque顶端的半平面
b.while deque底部的两个半平面的交点在当前半平面外:删除deque底部的半平面
c.将新半平面加入deque顶端
step4.删除两端多余的半平面。
具体方法是:
a.while deque顶端的两个半平面的交点在底部半平面外:删除deque顶端的半平面
b.while deque底部的两个半平面的交点在顶端半平面外:删除deque底部的半平面
重复a,b直到不能删除为止。
step5:计算出deque顶端和底部的交点即可。

这个算法描述的非常清晰。当初写的时候有两个地方想的不太明白:step 1如何选择性的保留一个。step3如何判断交点在半平面外。

其实这两个问题都可以用叉积来解决。首先根据给定的两点顺序规定好极角序。假定两点o1o2的输入方向是顺时针,那么另一点P是否在其平面内只要判 断o1P这个向量是否在o1o2这个向量的右手边即可。对于相同角度的两个半平面(a1a2,b1b2),可以看a1b1这个向量是否在a1a2这个向量 的右手边,每次都要选择更靠近右手边的那个半平面。

利用这个算法求多边形的核(PKU 1279),0.00MS,速度还是很快的。

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MasterLuo 说:
2009年8月23日 06:55

这篇文章写得很好。楼上也是学生吧?上POJ做题。

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roselone 说:
2009年8月24日 04:50

@MasterLuo: 是滴,这篇文章是转的,刚看完zzy的论文,然后在网上搜到的一个跟简洁的版本~

wjt 说:
2010年9月07日 06:56

能不能发这个代码给我

wjt 说:
2010年9月07日 06:57

邮箱837069122@qq.com


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